Matemática básica Ejemplos

$- \sqrt{y - 1} = y$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{y - 1})}^{2} = y^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Paso 2.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Paso 2.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Paso 2.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 1)}^{1} = y^{2}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

$y - 1 = y^{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 1 - y^{2} = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$